Les nombres relatifs … à zéro … sont des nombres comme les autres ! Ils peuvent donc s’additionner, se soustraire, se multiplier ou se diviser … oui, mais selon quelles règles ?
L’étude et la comparaison de deux arbres de calcul, à priori équivalents, nous a amené à conjecturer une règle d’égalité entre un produit de deux sommes et une somme de produits. Le recours à la géométrie, via un calcul d’aire, a permis de prouver cette conjecture et d’établir la règle de la double distributivité, essentielle en mathématiques.
En jouant avec deux dès, nous avons découvert qu’une situation aléatoire, dépendante du hasard, pouvait être étudiée mathématiquement. Il ne s’agit pas de prévoir le hasard mais de calculer des probabilités, c’est à dire de mesurer la « chance » qu’un évènement se produise, sur le nombre de résultats possibles. Cette branche des mathématiques s’appelle les probabilités.
Lorsque deux grandeurs évoluent ensemble, il est souvent pratique de les représenter à l’aide d’un graphique, sous forme d’un ensemble de points ou d’une courbe lisse. L’intérêt est de voir facilement la manière dont elles varient, l’une en fonction de l’autre. Un cas particulier concerne la représentation graphique de deux grandeurs proportionnelles. Comment reconnaître graphiquement une telle situation ?
Des grains de riz sur un échiquier, à l’épaisseur d’une feuille de papier pliée sur elle même, en passant par les triangles de Sierpinski et la diffusion d’une rumeur ou d’un virus, il est finalement aisé de rencontrer des nombres toujours plus grands, sans quitter la Terre ! Le procédé commun qui permet l’apparition rapide de ces grands nombres repose sur la multiplication. D’un nombre à son suivant, le résultat augmente toujours plus vite. Il monte « en puissance » et nécessite une écriture adaptée !
En début d’année, nous avons étudié des programmes de calcul et manipulé le langage littéral pour prouver des conjectures. Ces mêmes programmes de calcul offrent également des situations numériques où le recours à la lettre permet de déterminer, de manière rigoureuse et systématique, un nombre de départ, connaissant le nombre d’arrivée. La méthode développée est celle des équations, que nous devons au grand Mathématicien Al Khwarizmi, fondateur de l’Algèbre.