Author ARROUCH Olivier
Les nombres relatifs … à zéro … sont des nombres comme les autres ! Ils peuvent donc s’additionner, se soustraire, se multiplier ou se diviser … oui, mais selon quelles règles ?
L’étude et la comparaison de deux arbres de calcul, à priori équivalents, nous a amené à conjecturer une règle d’égalité entre un produit de deux sommes et une somme de produits. Le recours à la géométrie, via un calcul d’aire, a permis de prouver cette conjecture et d’établir la règle de la double distributivité, essentielle en mathématiques.
En jouant avec deux dès, nous avons découvert qu’une situation aléatoire, dépendante du hasard, pouvait être étudiée mathématiquement. Il ne s’agit pas de prévoir le hasard mais de calculer des probabilités, c’est à dire de mesurer la « chance » qu’un évènement se produise, sur le nombre de résultats possibles. Cette branche des mathématiques s’appelle les probabilités.
Lorsque deux grandeurs évoluent ensemble, il est souvent pratique de les représenter à l’aide d’un graphique, sous forme d’un ensemble de points ou d’une courbe lisse. L’intérêt est de voir facilement la manière dont elles varient, l’une en fonction de l’autre. Un cas particulier concerne la représentation graphique de deux grandeurs proportionnelles. Comment reconnaître graphiquement une telle situation ?
Des grains de riz sur un échiquier, à l’épaisseur d’une feuille de papier pliée sur elle même, en passant par les triangles de Sierpinski et la diffusion d’une rumeur ou d’un virus, il est finalement aisé de rencontrer des nombres toujours plus grands, sans quitter la Terre ! Le procédé commun qui permet l’apparition rapide de ces grands nombres repose sur la multiplication. D’un nombre à son suivant, le résultat augmente toujours plus vite. Il monte « en puissance » et nécessite une écriture adaptée !
En début d’année, nous avons étudié des programmes de calcul et manipulé le langage littéral pour prouver des conjectures. Ces mêmes programmes de calcul offrent également des situations numériques où le recours à la lettre permet de déterminer, de manière rigoureuse et systématique, un nombre de départ, connaissant le nombre d’arrivée. La méthode développée est celle des équations, que nous devons au grand Mathématicien Al Khwarizmi, fondateur de l’Algèbre.
Depuis le Soleil, le voyage pour la Terre à la vitesse de la lumière durerait environ 8 minutes … c’est finalement le temps qu’il faut aux particules de lumière, les photons, pour parcourir la distance de 150 millions de kilomètres. Depuis Proxima du Centaure, l’étoile la plus proche de notre système solaire, ce temps s’allonge à 4,4 années ! Ainsi, lorsque nous la regardons, nous observons son image passée de 4,4 années. Voir loin, c’est donc voir le passé ! Dans cette course à remonter le temps, les nombres manipulés sont toujours plus grands et plus longs. C’est pourquoi l’écriture scientifique a été inventée.
La réalisation d’une maquette de la Tour Crayon de Lyon nous a amené d’une part à revoir le patron du cylindre de révolution, d’autre part à découvrir le patron d’une pyramide à base carrée. Ce travail manuel a nécessité l’utilisation du théorème de Pythagore pour déterminer la mesure exacte de l’arête de la pyramide. Cette activité a été prolongée par l’étude du cône et la conjecture des formules de volume des pyramides et des cônes.
Lorsque deux grandeurs évoluent ensemble, elles peuvent être proportionnelles ou non. Lorsqu’elles le sont, les calculs sont facilités car il est possible de revenir à l’unité. Cette méthode permet de comprendre les notions de pourcentage, vitesse, taux …
La recherche d’une méthode empirique pour tracer un angle droit, uniquement avec une corde, nous a amené à découvrir le triangle rectangle « 3-4-5 ». Ce triangle remarquable respecte une règle plus générale qui caractérise les triangles rectangles : Le Théorème de Pythagore.